InputThe first line contains one integer t, represents the number of test cases. Then there are multiple test cases. For each test case there is one line containing two integers m and n(1 ≤ m, n ≤ 100000)OutputFor each test case output one line represents the number of trees Farmer Sherlock can see.Sample Input
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Sample Output
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题解:
容斥原理
题意:给n*m的矩阵有点,左下角的点为(1,1),右上角的点(n,m),(其实转回来也是没影响的即m*n),一个人站在(0,0)看这些点,在一条直线的视线上,它只能看到最前面的那个点,后面的点将会被档住他看不到,问你,这个人一共能看到多少个点。
这个问题只要画一下图不难发现,如果一个点(x,y),x和y有非1的公约数z,那么他们其实可以一起缩小为(x/z,y/z),试着把这两个点和(0,0)连线,发现他们其实是同一条直线,而(x/z,y/z)
在前面,所以其实(x,y)被挡住了看不到的,这启发了我们,如果我们找到了x和y的最大公约数g,那么(x/g,y/g)一定是这条直线上最前面的点,没有其他店能挡住他,他一定能被看到,而他后面的点都看不到,那么(x/g,y/g)满足的性质就是,这两个数字互质
从而得到一个结论,两个数字(x,y)如果两数互质,则可以被看到,如果不互质,则看不到,所以我们就是要找出所有的二元组(x,y)使他们互质
我们可以固定一个数字,用一个数来循环。例如矩阵为n*m,我们固定m,用n来循环,即1与[1,m]里面多少个数互质,2与[1,m]里面多少个数互质,3与[1,m]里面多少个数互质……n与[1,m]里面多少个数互质,把这些结果全部累加起来即可
所以问题的最后变为了,给定一个数字x,怎么找出它和1到y里面有多少个数互质呢?
两个数字互质,其实就是它们没有公共的质因子,反过来两个数字有公共的质因子则一定不互质,那么我们可以求反面,x与1到y里面多少个数字不互质,然后用y减去即可
在这里我们就用到了容斥原理:先找到有多少个数和x有1个公共的质因子,然后加上;再找到有多少个数与x有2个公共的质因子,然后减去;再找到有多少个数有多少个数与x有3个公共的质因子,然后加上……最后得到的个数,就是有多少个数与x不互质
因为容斥原理一个最基本的准则就是——
要计算几个集合并集的大小,我们要先将所有单个集合的大小计算出来,然后减去所有两个集合相交的部分,再加回所有三个集合相交的部分,再减去所有四个集合相交的部分,依此类推,一直计算到所有集合相交的部分。(奇数加,偶数减)
AC代码:
1 #include2 #include 3 #include 4 #include 5 #include 6 #include 7 using namespace std; 8 #define MAX 100010 9 10 bool p[MAX];11 vector fac[MAX];//保存每个数字带有的质因子12 13 void init()14 {15 for(int i=0; i H) //交换可令循环次数减少60 { H=H^W; W=H^W; H=H^W;}61 long long ans=H;62 for(int w=2; w<=W; w++)63 ans += cal(w,H);64 printf("%I64d\n",ans); //注意输出格式不能用%lld65 }66 return 0;67 }